LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

Nama :Arini Fitria Afrizal(03)

Kelas :X MIPA 1

Luas segitiga dengan aturan trigonometri

Sebagaimana telah kita pelajari bahwa luas suatu segitiga dapat diperoleh dengan mengalikan alas dan tinggi dari segitiga tersebut dan kemudian membaginya dengan 2, atau dapat dituliskan sebagai

Selain menggunakan rumus di atas, luas segitiga tersebut juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus aturan trigonometri. Untuk penjelasannya, amatilah segitiga ABC berikut!

Gambar 1. Segitiga ABC dengan sudut dan sisi-sisinya

Perhatikan bahwa segitiga ABC pada Gambar 1 terbagi lagi menjadi dua segitiga yakni

$Δ A D C$ dan $Δ B D C$ . Pada $Δ A D C$ , kita peroleh

Dengan demikian,

Jadi, luas $L Δ A B C$ dapat dinyatakan sebagai

Dengan cara yang sama, untuk setiap segitiga ABC juga berlaku:

1. Rumusan Luas Segitiga yang Diketahui Alas dan Tinggi
Apabila sebuah segitiga diketahui alas dan tingginya, maka kita akan mempergunakan rumus:
$\huge L = \frac{1}{2}\times a\times t$
Bukti:
Misalkan diketahui sebuah segiempat yang kita namai segiempat PQRS (lihat gambar dibawah ini)
Luas bangun tersebut adalah Panjang x Lebar. Jika kita bagi persegi panjang ini dengan sebuah garis diagonal QS,maka
Kita bisa membuat sebuah segitiga PQS dan RQS. Luas kedua segitiga ini sama. Segitiga PQS merupakan setengah dari persegi panjang PQRS sehingga luasnya setengah dari persegi panjang. Dalam segitiga panjang dari segiempat PQ dinamakan alas dan SP dinamakan tinggi. Sehingga luas segitiga tersebut adalah
$\huge L = \frac{1}{2}\times a\times t$
(Terbukti)
2. Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudut

Perhatikan gambar berikut ini:
Gambar tersebut menujukkan segitiga sembarang dari ABC. Jika pada segitiga tersebut diketahui sisi a, sisi c dan sudut C maka didapat:
$\huge \sin B=\frac{t}{a}$ $\huge \Leftrightarrow t=a.sin B$
Sehingga diperoleh bahwa:
$\huge L= \frac{1}{2}\times alas\times tinggi$
$\huge = \frac{1}{2}\times c\times a\times sin B$
$\huge = \frac{1}{2}.c.a.sin B$
Untuk mendapatkan rumus yang sama jika diketahui dua sisi dan sudut apit yang lainnya dapat dirumuskan sebagai berikut:
$\huge L= \frac{1}{2}\times a\times b\times sin C$
$\huge L= \frac{1}{2}\times b\times c\times sin A$
3. Diketahui Dua Sudut Satu Sisi
Perhatikan gambar dibawah ini !
Gambar tersebut menunjukkan segitiga sembarang pada ABC, jika diketahui panjang sisi AC = b, sudut A, dan sudut C. Untuk mencari luas segitiga tersebut kita dapat menggunakan rumus trigonometri yaitu aturan sinus.
Aturan Sinus:
$\frac{a}{\sin a}=\frac{b}{\sin b}=\frac{c}{\sin c}$
Dari aturan sinus kita ketahui bahwa
$\frac{a}{\sin a}=\frac{b}{\sin b}$
$\Leftrightarrow a\times \sin B=b\times \sin A$
$\Leftrightarrow b = \frac{a\sin B}{sin B}$
Kita sudah gunakan perumusan luas segitiga yang telah kita buktikan sebelumnya:
$\huge L= \frac{1}{2}\times a\times b\times sin C$
Subtitusikan nilai b dari aturan sinus maka diperoleh
$L= \frac{1}{2}\times a\times \frac{a\sin B}{\sin A}\times sin C$
$\Leftrightarrow = \frac{1}{2}\times a^2\times \frac{\sin B}{\sin A}\times sin C$
Dengan demikian kita dapat membuat perumusan jika diketahui dua sudut dan satu sisi sebagai berikut:
$\Leftrightarrow = \frac{1}{2}\times a^2\times \frac{\sin B}{\sin A}\times sin C$
$\Leftrightarrow = \frac{1}{2}\times b^2\times \frac{\sin A}{\sin B}\times sin C$
$\Leftrightarrow = \frac{1}{2}\times c^2\times \frac{\sin A}{\sin C}\times sin B$
4. Diketahui Ketiga Sisi Segitiga
Ingat Kembali !
$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$
$\sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A$
$\sin ^{2}A=(1+\cos A)(1-\cos A)$
Ingat Juga Aturan dari Cosinus:
$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
Untuk membuktikan rumus segitiga jika diketahui ketiga sisi segitiga yaitu dengan menguraikan bentuk sebagai berikut:
$\sin ^{2}A = (1+\frac{b^{2}+c^2-a^2}{2bc})(1-\frac{b^{2}+c^2-a^2}{2bc})$
$\Leftrightarrow \sin ^{2}A = (\frac{2bc+b^{2}+c^2-a^2}{2bc})(\frac{2bc-(b^{2}+c^2-a^2)}{2bc})$
$\Leftrightarrow \sin ^{2}A = (\frac{(b+c)^2-a^2}{2bc})(\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc})$
$\Leftrightarrow \sin ^{2}A = (\frac{(b+c+a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4b^2c^2})$
$\Leftrightarrow \sin A = \sqrt{(\frac{(b+c+a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4b^2c^2})}$
$\Leftrightarrow \sin A = \frac{1}{2bc}\sqrt{(b+c+a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}$
Ingat bahwa:
(a+b+c) = 2S
(b+c+a) = (a+b+c) -2a = 2S-2a = 2(s-a)
(a+b-c) = (a+b+c)-2c = 2S – 2c = 2(S-c)
(a+c-b) = (a+c+b) -2b = 2S – 2b = 2 (S-b)
Sehingga diperoleh :
$L=\frac{1}{2}\times b\times c\times \sin A$
$L=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$
(Terbukti)

Aturan sinus

Menjelaskan hubungan antara perbandingan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap sinus sudut pada segitiga. Berdasarkan aturan sinus dalam segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi segitiga mempunyai nilai yang sama. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

sinus dan cosinus Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

Aturan cosinus

Aturan Cosinus merupakan aturan yang menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga. Aturan cosinus dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur lain dalam suatu segitiga sembarang untuk dua kasus yaitu saat tiga sisi ketahui dan saat dua sisi dan sudut apitnya diketahui. Seperti yang dijelaskan pada gambar di bawah ini.

Segitiga sembarang Δ ABC

Keterangan:

a = panjang sisi a

A = besar sudut di hadapan sisi a

b = panjang sisi b

B = besar sudut di hadapan sisi b

c = panjang sisi c

C = besar sudut di hadapan sisi c

Sehingga aturan cosinus berlaku untuk setiap segitiga ABC sebagai berikut:

a² = b² + c² - 2 bc cos A

b² = c² + a² - 2 ac cos B

c² = a² + b² - 2 ab cos C

Berdasarkan rumus aturan cosinus di atas, maka di dapatkan rumus untuk menghitung besar sudutnya :

Kumpulan contoh soal:

1). Sebuah segitiga diketahui memiliki sudut A = 30º, sisi a = 3 dan sisi b = 4. Hitung besar sudut B, besar sudut C dan panjang sisi c!

Diketahui:

A = 30º

a = 3

b = 4

Ditanya: B, C dan c?

Pembahasan:

Menentukan besar sudut B

soal sinus.png

Karena sinus harus bernilai positif baik di kuadran I maupun kuadran II, maka sudut lain yang memenuhi adalah B = (180º - 41,8º) = 138,2º

Menentukan besar sudut C

Jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180º, oleh karena itu berlaku:

A + B + C = 180º → C = 180º - (A + B)

Untuk B = 41,8º → C = 180º - (30º + 41,8º) = 108,2º

Untuk B = 138,2º → C = 180º - (30º + 138,2º) = 11,8º

Menentukan panjang sisi C

2).Segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm, panjang sisi c = 6 cm dan besar sudut B = 60º. Tentukan panjang sisi b!

Diketahui:

a = 5 cm

c = 6 cm

B = 60º

Ditanya: b?

Pembahasan:

b² = a² + c² - 2ac cos B

b² = 5² + 6² - 2(5)(6) cos 60º

b² = 25 + 36 - 60 (0,5)

b² = 61 - 30

b² = 31

b = 5,56 cm

Jadi, panjang sisi b adalah 5,56 cm

3).Tentukan luas segitiga ABC pada Gambar 1 di atas jika diketahui sisi

$B C = 4$ cm, $A C = 7 \sqrt{3}$ cm dan $∠ C = 60^{0}$ .

Pembahasan:

Diketahui $B C = a = 4$ cm; $A C = b = 7 \sqrt{3}$ dan $∠ C = 60^{0}$ . Dengan demikian, kita peroleh

4).Sebuah segitiga ABC diketahui luasnya 18 cm2. Jika panjang sisi

$B C = 4$ cm dan $A B = 6 \sqrt{3}$ cm, maka tentukanlah besar sudut B.

Pembahasan:

Diketahui luas segitiga = 18, $B C = a = 4$ ; dan $A B = c = 6 \sqrt{3}$ . Dengan demikian, kita peroleh

5).Hitunglah luas segitiga ABC jika diketahui panjang sisi-sisinya a = 16 cm, b = 14 cm, dan c = 10 cm!

Pembahasan:

Pertama, kita hitung

Sehingga luas segitiga ABC adalah

Jadi, luas segitiga ABC adalah $40 \sqrt{3}$ cm2

6).Tentukanlah luas segitiga PQR, jika diketahui panjang sisi PQ = 5 cm, PR = 7 cm dan QR = 8 cm.

Pembahasan:

Diketahui : PQ = r = 5 cm

PR = q = 7 cm

QR = p = 8 cm

Ditanya : Luas segitiga PQR

7).Perhatikan gambar dibawah ini!

Jika diketahui bahwa panjang sisi AB = 30 cm, AC = 12 cm, dan sudut A = $53^{0}$ . Hitunglah luas dari segitiga diatas !

Pembahasan:

$L=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin A$

$L=\frac{1}{2}\times 30\times 12\times \sin 53^{0}$

$L=\frac{1}{2}\times 360\times 0,8 = 144cm^{2}$

8).Diketahui sebuah segitiga sembarang ABC dengan panjang sisi AB = 6 cm, besar $<A=30^0$ dan $<C=120^0$ , luas daerah dari segitiga ABC adalah ….

Pembahasan:

$<B=180^0-(<A + <C)$

$\Leftrightarrow <B=180^0-(30^0 + 120^0)$

$\Leftrightarrow <B=180^0-150^0$

Jadi, luas daerah pada segitiga ABC adalah

$\Leftrightarrow = \frac{1}{2}\times c^2\times \frac{\sin A}{\sin C}\times sin B$

$\Leftrightarrow = \frac{1}{2}\times 6^2\times \frac{\sin 30^0}{\sin 120^0}\times sin 30^0$

$\Leftrightarrow = \frac{36\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{2\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}$

9).Perhatikan gambar dibawah ini!

Diketahui panjang sisi-sisi segitiga sama sisi pada ABC yaitu 12 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut!

Pembahasan:

Langkah pertama, kita mencari setengah dari keliling segitiga (S) terlebih dahulu

$\huge S=\frac{12+12+12}{2}=\frac{36}{2}=18$

Langkah kedua, subtitusikan nilai S pada rumus $L=\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$ maka diperoleh:

$L=\sqrt{18(18-12)(18-12)(18-12)}$

$L=\sqrt{18(6)(6)(6)}$

$L=\sqrt{108.36}$

$L=\sqrt{3(36)(36)}$

$L=36\sqrt{3}cm^{2}$

Daftar Pustaka:

https://www.ruangguru.com/blog/apa-itu-aturan-sinus-dan-cosinus

https://jagostat.com/matematika-dasar/luas-segitiga-dengan-aturan-trigonometri

https://putrichintiya.wordpress.com/2015/12/02/pembuktian-rumus-luas-segitiga/

Cari Blog Ini

Bahagiaku bersekolah di SMAN 63 Jakarta

LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Soal kontekstual tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, Termasuk sudut Elevasi dan sudut Depresi.

FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

SOAL DAN PEMBAHASAN FUNGSI TRIGONOMETRI