FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA


Nama: Arini Fitria Afrizal(03)
Kelas: X MIPA 1

Definisi Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri merupakan suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus menerus dalam periode tertentu. Fungsi dari periode itu sendiri merupakan suatu jarak antara dua puncak/lembah atau jarak antara awal puncak dan akhir lembah. Selain itu, terdapat amplitudo yang merupakan setengah dari selisih nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Rumus amplitudo sebagai berikut:

amplitudo

Enam Fungsi Trigonometri

Sudut sinus, cosinus, dan tangen adalah klasifikasi utama fungsi trigonometri. Dan ketiga fungsi yaitu kotangen, secan, dan cosecan dapat diturunkan dari fungsi primer. Pada dasarnya, tiga fungsi lainnya sering digunakan dibandingkan dengan fungsi trigonometri primer.

Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.

Grafik Fungsi Trigonometri

Grafik fungsi trigonometri memiliki nilai domain yang diwakili pada sumbu x horizontal dan nilai rentang diwakili sepanjang sumbu y vertikal. Grafik Sinθ dan Tanθ melalui titik asal dan grafik fungsi trigonometri lainnya tidak melalui titik asal. 

Rentang Sinθ dan Cosθ terbatas pada [-1, 1]. Rentang nilai tak terbatas disajikan seperti yang digambar di samping garis putus-putus.



Melukis Grafik Fungsi Trigonometri

Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa berperan penting dalam melukiskan bentuk grafiknya. Inilah tabel perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa.

1. Melukis grafik fungsi sinus menggunakan tabel

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

a. Gunakan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa dengan sudut relasi sebagai x.

b. Melengkapi nilai pada tabel, lalu tulis pasangan koordinat titik-titiknya dalam radian atau derajat.

c. Lukis titik tersebut dalam koordinat kartesius yang sesuai.

d. Lukis kurva melalui titik-titiknya.


  • Grafik Fungsi Sinus, y = sin x

    • Nilai dari sinus adalah -1 ≤ sin (x) ≤ 1

    fungsi sinus
     

    Grafik fungsi sinus (y = a sin bx, x ∈ [0o, 360o])

    Grafik fungsi sinus, y = a sin bx, x ∈ [0o, 360o] memiliki bentuk gelombang bergerak yang teratur seiring pergerakan x. Perhatikan gambar berikut.

    Berdasarkan grafik di atas, diperoleh sifat-sifat berikut.

    1. Simpangan maksimum gelombang atau yang biasa disebut amplitudo adalah 1. Simpangan gelombang adalah jarak dari fungsi x ke puncak gelombang.
    2. Gelombang memiliki periode satu putaran penuh.
    3. Grafik y = sin x memiliki nilai ymaks = 1 dan ymin = -1.
    4. Titik maksimum gelombang adalah adalah (90o, 1) dan titik minimumnya (270o, -1).

    Jika persamaan fungsi trigonometrinya diubah menjadi y = a sin x dengan a = 2, diperoleh grafik berikut.

    Perubahan nilai a mengakibatkan perubahan amplitudo gelombang. Nah, jika persamaan fungsinya diubah menjadi y = sin bx dengan b = 2, grafiknya akan menjadi seperti berikut.

    Artinya, perubahan nilai b mempengaruhi jumlah gelombang yang terbentuk. Pada grafik fungsi y = sin 2x terbentuk 2 buah gelombang.

    Untuk memudahkan belajarmu, inilah SUPER “Solusi Quipper”.

    2. Melukis grafik fungsi kosinus menggunakan tabel

    • Sama seperti grafik fungsi sinus, untuk kosinus kamu bisa menentukan terlebih dahulu nilai kosinus sudut-sudut istimewanya.

      Dengan demikian, diperoleh grafik berikut ini.


    • Grafik Fungsi Cosinus, y = cos x
    Nilai dari cosinus adalah -1 ≤ cos (x) ≤ 1
     
    fungsi cosinus

    Grafik fungsi kosinus (y = cos 2x, x ∈ [0o, 360o])

    Pada dasarnya, grafik fungsi kosinus sama dengan grafik fungsi sinus. Hal yang membedakan adalah grafik fungsi sinus dimulai dari y = 0, sedangkan grafik fungsi kosinus dimulai dari y = 1. Perhatikan grafik berikut.

    Jika persamaan fungsinya diubah menjadi y = cos 2x, grafiknya menjadi seperti berikut.

    Grafik di atas menujukkan adanya dua buah gelombang yang bergerak dari y = 1.

    3. Melukis grafik fungsi tangen menggunakan lingkaran satuan

    • Jari-jari lingkaran satuan yang diperpanjang sampai

      Dari gambar di atas, kamu bisa mendapatkan beberapa nilai tangen berikut.

      Nilai di atas menunjukkan bahwa nilai tangennya adalah panjang ruas garis dari titik O sampai ke titik potong jari-jari yang terkait sudut, misalnya sudut x. Untuk melukis grafik fungsi tangen, kamu bisa melalui titik potongnya, dengan ruas atas bertanda positif dan ruas bawah bertanda negatif.

       memotong sumbu-y, akan menghasilkan gambar berikut.


    • Grafik Fungsi Tangen, y = tan x
    Grafik tangen ini tidak mempunyai nilai maksimum.
    fungsi tangen
    Selain itu terdapat grafik tidak baku pada fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsinya adalah:
    fungsi tidak baku

                    

         Grafik fungsi tangen (y = tan x, x ∈ [0o, 360o])

Adapun ketentuan yang berlaku pada fungsi tangen adalah sebagai berikut.

    • Saat x -> 90o dan x -> 270o (dari kanan), nilai y = tan x menuju tak terhingga.
    • Saat x -> 90o dan x -> 270o (dari kiri), nilai y = tan x menuju negatif tak terhingga.

Berikut ini contoh grafiknya.

Jika fungsi tangen diubah menjadi y = tan 2x, x ∈ [0o, 360o] grafiknya menjadi seperti berikut.


 Fungsi trigonometri memiliki nilai minimum dan maksimum, cara menentukannya dapat menggunakan metode grafik dan melalui rumus. Metode grafik dengan cara menggambarkan grafiknya, titik puncak pada bukit adalah nilai maksimum sedangkan titik terendah pada lembah adalah nilai minimum. Selain dengan grafik, nilai maksimum dan nilai minimum dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

nilai minimum dan maksimum

Rumus Fungsi Trigonometri

Rumus fungsi trigonometri secara luas dibagi menjadi identitas timbal balik, rumus Pythagoras, jumlah dan perbedaan identitas, rumus untuk sudut kelipatan dan sub-kelipatan, jumlah dan produk identitas. Semua rumus di bawah ini dapat dengan mudah diturunkan menggunakan rasio sisi segitiga siku-siku. 

Rumus yang lebih tinggi dapat diturunkan dengan menggunakan rumus fungsi trigonometri dasar. Identitas timbal balik sering digunakan untuk menyederhanakan masalah trigonometri.

Identitas Timbal Balik

  • cosec = 1/sin
  • detik = 1/cos
  • dipan = 1/tan
  • sin = 1/cosec
  • cos = 1/detik
  • tan = 1/cot

Identitas Pythagoras

  • Sin 2 + Cos 2 = 1
  • 1 + Tan 2 θ = Sec 2 θ
  • 1 + Cot 2 θ = Cosec 2 θ

Jumlah dan Perbedaan Identitas

  • sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
  • cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
  • tan(x+y) = (tan x + tan y)/ (1−tan x • tan y)
  • sin(x–y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
  • cos(x–y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
  • tan(x−y) = (tan x–tan y)/ (1+tan x • tan y)

Identitas Setengah Sudut










Identitas Sudut Ganda

  • sin(2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1+tan 2  x)]
  • cos(2x) = cos 2 (x)–sin 2 (x) = [(1-tan 2  x)/(1+tan 2  x)]
  • cos(2x) = 2cos 2 (x)−1 = 1–2sin 2 (x)
  • tan(2x) = [2tan(x)]/ [1−tan 2 (x)]
  • cot(2x) = [cot 2 (x) - 1]/[2cot(x)]
  • dtk (2x) = dtk 2  x/(2 dtk 2  x)
  • cosec (2x) = (dtk x cosec x)/2 

Identitas Sudut Tiga

  • Sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x
  • Cos 3x = 4cos 3 x-3cos x
  • Tan 3x = [3tanx-tan 3 x]/[1-3tan 2 x]

Identitas produk

  • 2sinx⋅cosy=sin(x+y)+sin(x−y)
  • 2cosx⋅cosy=cos(x+y)+cos(x−y)
  • 2sinx⋅siny=cos(x−y)−cos(x+y)

Jumlah Identitas

  • sinx+siny=2sin((x+y)/2) . cos((x−y)/2)
  • sinx−siny=2cos((x+y)/2) . dosa((x−y)/2)
  • cosx+cosy=2cos((x+y)/2) . cos((x−y)/2)
  • cosx−cosy=−2sin((x+y)/2 .sin((x−y)/2)
  • KUMPULAN CONTOH SOAL
  • Contoh Soal 1

Perhatikan grafik fungsi berikut.

Grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi jenis apa?

Pembahasan:

Jika diperhatikan, grafik tersebut dimulai dari titik (0,1) dan mempunyai periode satu putaran 0 ≤ x ≤ 2π.

Dengan demikian, grafik fungsi tersebut adalah grafik fungsi cos, yaitu y = cos x. Untuk meyakinkan, coba lihat salah satu titiknya.

Jadi, grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi y = cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Contoh Soal 2

Lukislah grafik fungsi y = 2 cos 2x, x ∈ [0o, 360o]

Pembahasan:

Untuk menentukan bentuk grafiknya, gunakan tabel trigonometri sudut istimewa.

Dengan demikian, grafik fungsi y = 2 cos 2x, x ∈ [0o, 360o] adalah sebagai berikut.

Contoh Soal 3

Hitunglah nilai maksimum dan minimum fungsi y = cos (x – 30), x ∈ [0o, 360o]. Kemudian, lukislah grafik fungsinya.

Pembahasan:

Berdasarkan tabel trigonometri untuk sudut istimewa, diperoleh:

Berdasarkan tabel di atas, nilai maksimum dari fungsi y = cos (x – 30), x ∈ [0o, 360o] adalah 1 dan nilai minimumnya adalah –1. Untuk lebih jelasnya, simak grafik fungsi berikut.

Contoh Soal 4

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!

a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8

Jawab:

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7

Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8

Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11

Nilai minimum = -|a| + c = -|-3| + |-8| = 5

Daftar Pustaka:

https://www.ruangguru.com/blog/memahami-fungsi-trigonometri-sederhana

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/grafik-fungsi-trigonometri-matematika-kelas-10/

https://www.merdeka.com/sumut/memahami-fungsi-trigonometri-rumus-beserta-grafiknya-kln.html

Komentar

Posting Komentar