Soal kontekstual tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, Termasuk sudut Elevasi dan sudut Depresi.

                                                     IDENTITAS TRIGONOMETRI 

NAMA:ARINI FITRIA AFRIZAL

KELAS:X MIPA 1

*Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. 

*Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. 

-Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. 

-Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. 

-Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama

Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, kita misalkan panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, dan $AB=c$. Untuk sudutnya kita pakai sudut $ABC$ kita misalkan besarnya sebesar $\beta$.

Deskripsi di atas dalam gambar bisa kita ilustrasikan seperti berikut ini:

Dari segitiga di atas berdasarkan definisi perbandingan trigonometri kita peroleh;

• $\sin \beta =\frac{b}{c}\left[\frac{de}{mi}\right]$
• $\cos \beta =\frac{a}{c}\left[\frac{sa}{mi}\right]$
• $\tan \beta =\frac{b}{a}\left[\frac{de}{sa}\right]$
• $\csc \beta =\frac{c}{b}\left[\frac{mi}{de}\right]$
• $\sec \beta =\frac{c}{a}\left[\frac{mi}{sa}\right]$
• $\cot \beta =\frac{a}{b}\left[\frac{sa}{de}\right]$

Dari keenam bentuk dasar trigonometri di atas sudah ada beberapa bentuk identitas yang bisa kita peroleh, antara lain;

• $\frac{1}{\sin \beta }=\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}=\csc \beta$ atau $\frac{1}{\sin \beta }=\csc \beta$
• $\frac{1}{\cos \beta }=\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{c}{a}=\sec \beta$ atau $\frac{1}{\cos \beta }=\sec \beta$
• $\frac{1}{\tan \beta }=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}=\cot \beta$ atau $\frac{1}{\cot \beta }=\tan \beta$
• $\frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}=\tan \beta$ atau $\frac{\cos \beta }{\sin \beta }=\cot \beta$

Setelah paham identitas trigonometri di atas, sekarang kita coba kembali ke segitiga siku-siku ABC yang diawal tadi. Pada segitiga itu dapat kita terapkan teorema phytagoras yaitu:
$\begin{array}{cc}B{C}^2+A{C}^2& =A{B}^2\\ a^2+b^2& =c^2\\ \text{kedua ruas}& \text{dibagikan dengan}{c}^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}& =\frac{c^2}{c^2}\\ {\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2& =1\\ {\left(\cos \beta \right)}^2+{\left(\sin \beta \right)}^2& =1\\ {\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta & =1\end{array}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$
• ${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta$
• ${\cos }^2\beta =1-{\sin }^2\beta$

Bentuk identitas trigonometri di atas dapat juga diubah kebentuk yang lain, misalnya:

• ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$
• ${\sin }^2{355}^{\circ }+{\cos }^2{355}^{\circ }=1$
• ${\sin }^{2}p+{\cos }^{2}p=1$

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $a^2+b^2=c^2$.
$\begin{array}{cc}B{C}^2+A{C}^2& =A{B}^2\\ a^2+b^2& =c^2\\ \text{kedua ruas}& \text{dibagikan dengan}{a}^2\\ \frac{a^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}& =\frac{c^2}{a^2}\\ 1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2& ={\left(\frac{c}{a}\right)}^2\\ 1+{\left(\tan \beta \right)}^2& ={\left(\sec \beta \right)}^2\\ 1+{\tan }^2\beta ={\sec }^2\beta \end{array}$

Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• $1+{\tan }^2\beta ={\sec }^2\beta$
• ${\tan }^2\beta ={\sec }^2\beta -1$
• $1={\sec }^2\beta -{\tan }^2\beta$

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $a^2+b^2=c^2$.
$\begin{array}{cc}B{C}^2+A{C}^2& =A{B}^2\\ a^2+b^2& =c^2\\ \text{kedua ruas}& \text{dibagikan dengan}{b}^2\\ \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{b^2}& =\frac{c^2}{b^2}\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^2+1& ={\left(\frac{c}{b}\right)}^2\\ {\left(\cot \beta \right)}^2+1& ={\left(\csc \beta \right)}^2\\ {\cot }^2\beta +1& ={\csc }^2\beta \end{array}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• ${\cot }^2\beta +1={\csc }^2\beta$
• $1={\csc }^2\beta -{\cot }^2\beta$
• ${\cot }^2\beta ={\csc }^2\beta -1$

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui seperti:

• Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh Soal:

1. Sin α . Cos α . Tan α =  (1 – Cos α)  (1 + Cos α)

Jawab:

2. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

$$ \sqrt{2pq}$$ tanA=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$$ p^2+q^2=$$

Jawab: 

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$\sin A=\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan di atas sama-sama dikuadratkan menjadi ${\sin }^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $\tan A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{array}{cc}\frac{\sin A}{\cos A}& =\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}\\ \frac{\sin A}{\cos A}& =\frac{\sin A}{p-q}\end{array}$
diperoleh persamaan $\cos A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $\cos A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{array}{cc}{\left(p-q\right)}^2& ={\cos }^{2}A\\ p^2+q^2-2pq& ={\cos }^{2}A\\ p^2+q^2& ={\cos }^2+2pqA\\ & ={\cos }^2+{\sin }^{2}A\\ & =1\end{array}$

${4.\; Buktikan\; (\sin A+\cos A)}^2-2\cdot \sin A\cos A=1$

Jawab:

(sin A+cos A)2−2⋅sin A cos A=1sin2A+cos2A+2⋅sin A cos A−2⋅sin A cos A=1sin2A+cos2A=11=1

                                                               DaftarPustaka

https://www.ruangguru.com/blog/apa-itu-trigonometri

https://www.dosenpendidikan.co.id/identitas-trigonometri/

https://www.defantri.com/2016/09/mengenal-identitas-trigonometri-dasar.html