SPLTV
*SPLTV memiliki pengertian sebagai bentuk perluasan dari SPLDV
*Bedanya, persamaan linear tiga variabel terdiri dari tiga persamaan yang masing-masing persamaan memiliki tiga variabel (misal x, y dan z).
*BENTUK UMUM SPLTV
a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x
b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y
c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z
d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah
Ciri–Ciri SPLTV
Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tiga variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.
■ Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)
■ Memiliki tiga variabel
■ Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)
Hal–Hal yang Berhubungan dengan SPLTV
#1 Suku
Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.
Contoh :
6x – y + 4z + 7 = 0, maka suku–suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y, 4z dan 7.
#2 Variabel
Variabel adalah pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.
Contoh :
Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z.
#3 Koefisien
Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.
Contoh :
Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka:
Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa 2, 5 dan 6 adalah koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.
#4 Konstanta
Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.
Contoh :
2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah 7, karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.
Syarat SPLDV Memiliki Satu Penyelesaian
■ Ada lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel sejenis.
Contoh :
x + y + z = 5
x + 2y + 3z = 6
2x + 4y + 5z = 9
■ Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.
Contoh :
2x − 3y + z = −5
2x + z − 3y + 5 = 0
4x – 6y + 2z = −10
Ketiga persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak memiliki tepat satu himpunan penyelesaian.
CARA PENYELESAIAN:
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:
■ Metode subtitusi
■ Metode eliminasi
■ Metode gabungan atau campuran
■ Metode determinan
■ Metode invers matriks
Cara Menentukan Penyelesaian SPLTV
Metode Subtitusi
Contoh Soal #1
Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode subtitusi.
x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10
Jawab:
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x = 2y – z + 6
■ Subtitusikan variabel atau peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
⇒ 6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
⇒ 7y – 5z + 18 = 4
⇒ 7y – 5z = 4 – 18
⇒ 7y – 5z = –14 ……………….. Pers. (1)
■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
⇒ 14y – 7z + 42 – 6y – z = 10
⇒ 8y – 8z + 42 = 10
⇒ 8y – 8z = 10 – 42
⇒ 8y – 8z = –32
⇒ y – z = –4 ……………….. Pers. (2)
■ Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z:
7y – 5z = –14
y – z = –4
■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan kedua. Dari persamaan kedua, kita peroleh
⇒ y – z = –4
⇒ y = z – 4
■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan pertama
⇒ 7y – 5z = –14
⇒ 7(z – 4) – 5z = –14
⇒ 7z – 28 – 5z = –14
⇒ 2z = –14 + 28
⇒ 2z = 14
⇒ z = 14/2
⇒ z = 7
■ Subtitusikan nilai z = 7 ke salah satu SPLDV, misal y – z = –4 sehingga kita peroleh
⇒ y – z = –4
⇒ y – 7 = –4
⇒ y = –4 + 7
⇒ y = 3
■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke salah satu SPLTV, misal x – 2y + z = 6 sehingga kita peroleh
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ x – 2(3) + 7 = 6
⇒ x – 6 + 7 = 6
⇒ x + 1 = 6
⇒ x = 6 – 1
⇒ x = 5
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = 3 dan z = 7. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(5, 3, 7)}.
*PENGECEKAN:
■ Persamaan pertama
⇒ x – 2y + z = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
⇒ 6 = 6 (benar)
■ Persamaan kedua
⇒ 3x + y – 2z = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
⇒ 4 = 4 (benar)
■ Persamaan ketiga
⇒ 7x – 6y – z = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
⇒ 10 = 10 (benar)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan
Contoh Soal #2
Dengan menggunakan metode subtitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV) berikut ini.
x + y – z = –3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4
Jawab:
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x + y – z = –3
⇒ x = –3 – y + z
■ Subtitusikan peubah x ke dalam persamaan kedua
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ (–3 – y + z) + 2y + z = 7
⇒ –3 + y + 2z = 7
⇒ y + 2z = 7 + 3
⇒ y + 2z = 10 ……………….. Pers. (3)
■ Subtitusikan variabel x ke dalam persamaan ketiga
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(–3 – y + z) + y + z = 4
⇒ –6 – 2y + 2z + y + z = 4
⇒ –y + 3z = 4 + 6
⇒ –y + 3z = 10 ……………….. Pers. (4)
■ Persamaan (3) dan (4) membentuk SPLDV y dan z:
y + 2z = 10
–y + 3z = 10
■ Selanjutnya kita selesaikan SPLDV tersebut dengan metode subtitusi. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana yaitu persamaan pertama. Dari persamaan pertama, kita peroleh
⇒ y + 2z = 10
⇒ y = 10 – 2z
■ Subtitusikan peubah y ke dalam persamaan kedua
⇒ –y + 3z = 10
⇒ –(10 – 2z) + 3z = 10
⇒ –10 + 2z + 3z = 10
⇒ –10 + 5z = 10
⇒ 5z = 10 + 10
⇒ 5z = 20
⇒ z = 4
■ Subtitusikan nilai z = 4 ke salah satu SPLDV, misal y + 2z = 10 sehingga kita peroleh
⇒ y + 2z = 10
⇒ y + 2(4) = 10
⇒ y + 8 = 10
⇒ y = 10 – 8
⇒ y = 2
■ Selanjutnya, subtitusikan nilai y = 2 dan z = 4 ke salah satu SPLTV, misal x + 2y + z = 7 sehingga kita peroleh
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ x + 2(2) + 4 = 7
⇒ x + 4 + 4 = 7
⇒ x + 8 = 7
⇒ x = 7 – 8
⇒ x = –1
Dengan demikian, kita peroleh nilai x = –1, y = 2 dan z = 4. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas adalah {(–1, 2, 4)}.
*PENGECEKAN:
■ Persamaan pertama
⇒ x + y – z = –3
⇒ –1 + 2 – 4 = –3
⇒ –34 = –3 (benar)
■ Persamaan kedua
⇒ x + 2y + z = 7
⇒ –1 + 2(2) + 4 = 7
⇒ –1 + 4 + 4 = 7
⇒ 7 = 7 (benar)
■ Persamaan ketiga
⇒ 2x + y + z = 4
⇒ 2(–1) + 2 + 4 = 4
⇒ –2 + 2 + 4 = 4
⇒ 4 = 4 (benar)
Berdasarkan pembuktian tersebut, maka bisa dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan
Metode Eliminasi
Contoh Soal 1
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut dengan menggunakan metode eliminasi.
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2
x + 2y – z = 3
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel apa yang akan kita elminasi terlebih dahulu. Supaya mudah, lihat peubah yang paling sederhana. Pada tiga persamaan di atas, peubah yang paling sederhana adalah peubah z sehingga kita akan mengeliminasi z terlebih dahulu.
Untuk menghilangkan variabel z, kita harus menyamakan koefisiennya. Berhubung koefisien z dari ketiga SPLTV sudah sama yaitu 1, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga peubah z hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
■ Dari persamaan pertama dan kedua:
■ Dari persamaan kedua dan ketiga:
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
x + 2y = 8
2x – y = 1
Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai x dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien y = 2
2x – y = 1 → koefisien y = –1
Agar kedua koefisien y sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 1 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 2. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.
Kedua, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi x. Untuk dapat mengeliminasi peubah x, maka kita juga harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 2y = 8 → koefisien x = 1
2x – y = 1 → koefisien x = 2
Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali 2 sedangkan persamaan kedua kita kali 1. Setelah itu, kedua persamaan kita selisihkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai x = 2 dan y = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai z, kita subtitusikan nilai x dan y tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan 2x – y + z = 6 sehingga kita peroleh:
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ 2(2) – 3 + z = 6
⇒ 4 – 3 + z = 6
⇒ 1 + z = 6
⇒ z = 6 – 1
⇒ z = 5
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 2, y = 3 dan z = 5 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(2, 3, 5)}.
Contoh Soal 2
Dengan menggunakan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah x sehingga kita akan mengeliminasi x terlebih dulu. Untuk menghilangkan variabel x, maka kita harus samakan koefisien masing-masing x dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x + 3y + 2z = 16 → koefisien x = 1
2x + 4y – 2z = 12 → koefisien x = 2
x + y + 4z = 20 → koefisien x = 1
Agar ketiga koefisien x sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
Setelah koefisien x ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel x hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
■ Dari persamaan pertama dan kedua:
■ Dari persamaan kedua dan ketiga:
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
2y + 6z = 20
2y – 10z = –28
Langkah selanjutnya adalah kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi. Pertama, kita tentukan nilai y dengan mengeliminasi z. Untuk dapat mengeliminasi variabel z, maka kita harus menyamakan koefisien z dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
2y + 6z = 20 → koefisien z = 6
2y – 10z = –28 → koefisien z = –10
Agar kedua koefisien z sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 5 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita jumlahkan. Prosesnya adalah sebagai berikut.
Kedua, kita tentukan nilai z dengan mengeliminasi y. Untuk dapat mengeliminasi variabel y, maka kita juga harus menyamakan koefisien y dari kedua persamaan. Berhubung koefisien y kedua persamaan sudah sama, maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut. Prosesnya adalah sebagai berikut.
Sampai pada tahap ini kita sudah memperoleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir, untuk mendapatkan nilai x, kita subtitusikan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya persamaan x + y + 4z = 20 sehingga kita peroleh:
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x + 1 + 4(3) = 20
⇒ x + 1 + 12 = 20
⇒ x + 13 = 20
⇒ x = 20 – 13
⇒ x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.
Metode Gabungan atau Campuran
Contoh Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode campuran.
x – y + 2z = 4
2x + 2y – z = 2
3x + y + 2z = 8
Jawab:
■ Metode Eliminasi (SPLTV)
Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah y, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.
x – y + 2z = 4 → koefisien y = –1
2x + 2y – z = 2 → koefisien y = 2
3x + y + 2z = 8 → koefisien y = 1
Agar ketiga koefisien y sama, maka kita kalikan persamaan pertama dan persamaan ketiga dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kalikan 1. Prosesnya adalah sebagai berikut.
Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.
● Dari persamaan pertama dan kedua:
● Dari persamaan kedua dan ketiga:
Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.
4x + 3z = 10
4x + 5z = 14
■ Metode Subtitusi (SPLDV)
Dari SPLDV pertama kita peroleh persamaan x sebagai berikut.
⇒ 4x + 3z = 10
⇒ 4x = 10 – 3z
Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.
⇒ 4x + 5z = 14
⇒ (10 – 3z) + 5z = 14
⇒ 10 + 2z = 14
⇒ 2z = 14 – 10
⇒ 2z = 4
⇒ z = 2
Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = 2 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 4x + 3z sehingga kita peroleh:
⇒ 4x + 3(2) = 10
⇒ 4x + 6 = 10
⇒ 4x = 10 – 6
⇒ 4x = 4
⇒ x =1
Langkah terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = 1 dan z = 2 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan x – y + 2z = 4 sehingga kita peroleh:
⇒ x – y + 2z = 4
⇒ (1) – y + 2(2) = 4
⇒ 1 – y + 4 = 4
⇒ 5 – y = 4
⇒ y = 5 – 4
⇒ y = 1
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1, y = 1 dan z = 2 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(1, 1, 2)}.
Contoh Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel di bawah ini dengan menggunakan metode gabungan.
x + 3y + 2z = 16
2x + 4y – 2z = 12
x + y + 4z = 20
Jawab:
■ Metode Subtitusi (SPLTV)
Pertama, kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan ketiga lebih sederhana. Dari persamaan ketiga, nyatakan variabel z sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x + y + 4z = 20
⇒ x = 20 – y – 4z ............... Pers. (1)
Kemudian, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV pertama.
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ (20 – y – 4z) + 3y + 2z = 16
⇒ 2y – 2z + 20 = 16
⇒ 2y – 2z = 16 – 20
⇒ 2y – 2z = –4
⇒ y – z = –2 ............... Pers. (2)
Lalu, subtitusikan persamaan (1) di atas ke dalam SPLTV kedua.
⇒ 2x + 4y – 2z = 12
⇒ 2(20 – y – 4z) + 4y – 2z = 12
⇒ 40 – 2y – 8z + 4y – 2z = 12
⇒ 2y – 10z + 40 = 12
⇒ 2y – 10z = 12 – 40
⇒ 2y – 10z = –28 ............... Pers. (3)
Dari persamaan (2) dan persamaan (3) kita peroleh SPLDV y dan z berikut.
y – z = –2
2y – 10z = –28
■ Metode Eliminasi (SPLDV)
Untuk mengeliminasi y, maka kita kalikan SPLDV pertama dengan 2 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai z sebagai berikut.
Untuk mengeliminasi z, maka kalikan SPLDV pertama dengan 10 agar koefisien z kedua persamaan sama. Selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.
Sampai tahap ini, kita peroleh nilai y = 1 dan z = 3. Langkah terakhir yaitu menentukan nilai x. Cara menentukan nilai x adalah dengan memasukkan nilai y dan z tersebut ke dalam salah satu SPLTV, misalnya x + 3y + 2z = 16 sehingga kita peroleh:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 – 9
⇒ x = 7
Dengan demikian kita peroleh nilai x = 7, y = 1 dan z = 3 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(7, 1, 3)}.
Metode Determinan
Contoh Soal:
Dengan menggunakan metode determinan, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.
2x + y + z = 12
x + 2y – z = 3
3x – y + z = 11
Jawab:
■ Mengubah SPLTV ke bentuk matriks
Pertama, kita ubah sistem persamaan yang ditanyakan dalam soal ke bentuk matriks berikut.
Kedua, kita tentukan nilai D, Dx, Dy dan Dz dengan ketentuan seperti pada langkah-langkah di atas.
■ Menentukan nilai D
D = [(2)(2)(1) + (1)(−1)(3) + (1)(1)(−1)] – [(3)(2)(1) + (−1)(−1)(2) + (1)(1)(1)]
D = [4 – 3 – 1] − [6 + 2 + 1]
D = 0 − 9
D = −9
■ Menentukan nilai Dx
Dx = [(12)(2)(1) + (1)(−1)(11) + (1)(3)(−1)] – [(11)(2)(1) + (−1)(−1)(12) + (1)(3)(1)]
Dx = [24 – 11 – 3] − [22 + 12 + 3]
Dx = 10 − 37
Dx = −27
■ Menentukan nilai Dy
Dy = [(2)(3)(1) + (12)(−1)(3) + (1)(1)(11)] – [(3)(3)(1) + (11)(−1)(2) + (1)(1)(12)]
Dy = [6 – 36 + 11] − [9 − 22 + 12]
Dy = −19 – (–1)
Dy = −18
■ Menentukan nilai Dz
Dz = [(2)(2)(11) + (1)(3)(3) + (12)(1)(−1)] – [(3)(2)(12) + (−1)(3)(2) + (11)(1)(1)]
Dz = [44 + 9 – 12] − [72 − 6 + 11]
Dz = 41 − 77
Dz = −36
■ Menentukan nilai x, y, z
Setelah nilai D, Dx, Dy, dan Dz kita peroleh, langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z menggunakan rumus berikut ini.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear 3 variabel di atas adalah HP = {(3, 2, 4)}.
Metode Invers Matriks
Dengan menggunakan metode invers matriks, tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut ini.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Penyelesaian:
Pertama, kita buat nama yang spesifik dari ketiga sistem persamaan linear di atas, yaitu sebagai berikut.
2x + y – z = 1 …………… Pers. (1)
x + y + z = 6 …….……… Pers. (2)
x – 2y + z = 0 …………… Pers. (3)
Kemudian, persamaan (1), (2), dan (3) kita susun dalam bentuk matriks berikut.
AX = B
Matriks A memuat koefisien-koefisien ketiga persamaan. Matriks X memuat variabel x, y, dan z. Sedangkan matriks B memuat konstanta-konstanta ketiga persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut.
Untuk menentukan nilai x, y, dan z maka bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
Matriks dari A-1 dirumuskan sebagai berikut.
A-1 = (1/determinan A)(adjoin A)
Sampai tahap ini, kita harus menentukan nilai dari determinan matriks A dan juga adjoin matriks A. Penjelasannya adalah sebagai berikut.
Menentukan determinan matriks A
Dari matriks A tambahkan 2 kolom di sebalah kanan. Kolom keempat berisi elemen dari kolom pertama, sedangkan kolom kelima berisi elemen dari kolom kedua matriks A. Sehingga matriks A menjadi seperti berikut.
Dari bentuk matrik di atas, nilai determinan dari matriks A adalah sebagai berikut.
det A = [(2)(1)(1) + (1)(1)(1) + (−1)(1)(−2)] – [(1)(1)(−1) + (−2)(1)(2) + (1)(1)(1)]
det A = [2 + 1 + 2] – [−1 – 4 + 1]
det A = 5 – (−4)
det A = 9
Adjoin matriks A
Untuk menentukan adjoin matriks A digunakan rumus berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Jadi sebelum dapat menentukan adjoin matriks, kita harus menentukan dahulu matriks kofaktor A yang ditranspose.
Menentukan matriks kofaktor A [kof(A)]
Elemen-elemen matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
Kesembilan elemen K tersebut dapat tentukan dengan menggunakan minor-kofaktor yang dirumuskan sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 M11
M11 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris dan kolom pertama matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K11 adalah sebagai berikut.
K11 = (−1)1 + 1 (3) = 3
K12 = (−1)1 + 2 M12
M12 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom kedua matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K12 adalah sebagai berikut.
K12 = (−1)1 + 2 (0) = 0
K13 = (−1)1 + 3 M13
M13 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris pertama dan kolom ketiga matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K13 adalah sebagai berikut.
K13 = (−1)1 + 3 (−3) = −3
K21 = (−1)2 + 1 M21
M21 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom pertama matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K21 adalah sebagai berikut.
K21 = (−1)2 + 1 (−1) = 1
K22 = (−1)2 + 2 M22
M22 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom kedua matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K22 adalah sebagai berikut.
K22 = (−1)2 + 2 (3) = 3
K23 = (−1)2 + 3 M23
M23 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris kedua dan kolom ketiga matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K23 adalah sebagai berikut.
K23 = (−1)2 + 3 (−5) = 5
K31 = (−1)3+ 1 M31
M31 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom pertama matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K31 adalah sebagai berikut.
K31 = (−1)3 + 1 (2) = 2
K32 = (−1)3+ 2 M32
M32 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom kedua matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K32 adalah sebagai berikut.
K32 = (−1)3 + 2 (3) = −3
K33 = (−1)3+ 3 M33
M33 adalah determinan minor dari matriks A yang diperoleh dengan menutup baris ketiga dan kolom ketiga matriks A.
Dengan demikian, nilai dari K33 adalah sebagai berikut.
K33 = (−1)3 + 3 (1) = 1
Sekarang kita kumpulkan semua nilai K yang diperoleh dari perhitungan di atas, yaitu sebagai berikut.
Dengan demikian, bentuk dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
Menentukan matriks Kofaktor A Transpose [kof(A)T]
Bentuk matriks transpose diperoleh dengan cara menukar elemen-elemen baris suatu matriks menjadi elemen-elemen kolom dan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemen-elemen baris. Dengan demikian, bentuk matriks transpose dari matriks kofaktor A adalah sebagai berikut.
Bentuk transpose dari matriks kofaktor A merupakan matriks adjoin A, sehingga adjoin dari matriks A adalah sebagai berikut.
Adj A = (matriks kofaktor A)T
Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan mengubah bentuk matriks AX = B menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
Jadi, kita peroleh nilai x = 1, y = 2 dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan linear di atas adalah {(1, 2, 3)}
DAFTAR PUSTAKA:
https://kumparan.com/berita-update/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel-spltv-dan-bentuk-umumnya-1upkxtOcTBw/1
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/10/sistem-persamaan-linear-tiga-variabel.html
Komentar
Posting Komentar