SPLDV

Pengertian dan Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah sebuah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat pada setiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):

$ax + by = c$

Dimana:
$a, b$ disebut koefisien
$x, y$ disebut variabel
$c$ disebut konstanta

Pengertian dan Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear dua variabel yang saling berhubungan dan memiliki satu penyelesaian.

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV):

$ax + by = c$

$px + qy = r$

Dimana:
$a, b, p, q$ disebut koefisien
$x, y$ disebut variabel
$c, r$ disebut konstanta

SPLDV ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari – hari yang membutuhkan penggunaan Matematika, seperti menentukan harga suatu barang, mencari laba dari suatu penjualan, dsb.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), diantaranya:

Metode Grafik

Metode grafik adalah salah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan cara menggambarkan persamaan linearnya ke dalam bentuk grafik pada koordinat Cartesius. Titik potong dari kedua persamaan linear tersebut merupakan penyelesaiannya.

CONTOH SOAL:

*Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV: x + y = 5 dan x − y = 1 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

■ x + y = 5

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 0 = 5

⇔ x = 5

Titik potong (5, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + y = 5

⇔ y = 5

Titik potong (0, 5)

■ x − y = 1

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x − 0 = 1

⇔ x = 1

Titik potong (1, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 − y = 1

⇔ y = −1

Titik potong (0, -1)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Dari gambar grafik di atas, titik potong kedua grafik tersebut adalah di titik (3, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1 untuk x, y ∈ R adalah {(3, 2)}.

*Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 untuk x, y ∈ R menggunakan metode grafik.

Penyelesaian

Pertama, kita tentukan titik potong masing-masing persamaan pada sumbu-X dan sumbu-Y

■ x + 2y = 2

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ x + 2(0) = 2

⇔ x = 2

Titik potong (2, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 0 + 2y = 2

⇔ 2y = 2

⇔ y = 1

Titik potong (0, 1)

■ 2x + 4y = 8

Titik potong dengan sumbu-X, syaratnya adalah y = 0

⇔ 2x + 4(0) = 8

⇔ 2x = 8

⇔ x = 4

Titik potong (4, 0)

Titik potong dengan sumbu-Y, syaratnya adalah x = 0

⇔ 2(0) + 4y = 8

⇔ 4y = 8

⇔ y = 2

Titik potong (0, 2)

Kedua, kita gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar grafik sistem persamaan di atas, tampak bahwa kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan karena keduanya sejajar. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + 2y = 2 dan 2x + 4y = 8 adalah himpunan kosong, ditulis {} atau {∅}.

Metode Subtitusi

Metode substitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.

CONTOH SOAL:

*Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.

5x + 5y = 25

3x + 6y = 24

Jawab

5x + 5y = 25 ………. Pers. (1)

3x + 6y = 24 ………. Pers. (2)

Dari persamaan (1) kita peroleh persamaan y sebagai berikut.

⇔ 5x + 5y = 25

⇔ 5y = 25 – 5x

⇔ y = 5 – x

Lalu kita subtitusikan persamaan y ke persamaan (2) sebagai berikut.

⇔ 3x + 6(5 – x) = 24

⇔ 3x + 30 – 6x = 24

⇔ 30 – 3x = 24

⇔ 3x = 30 – 24

⇔ 3x = 6

⇔ x = 2

Terakhir, untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x ke persamaan (1) atau persamaan (2) sebagai berikut.

⇔ 5(2) + 5y = 25

⇔ 10 + 5y = 25

⇔ 5y = 25 – 10

⇔ 5y = 15

⇔ y = 3

Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah {(2, 3)}.

*Tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV berikut ini dengan menggunakan metode subtitusi:

x – 2y = 8

3x + 2y = -8

Jawab

x – 2y = 8 ….………. Pers. (3)

3x + 2y = -8 ………. Pers. (4)

Dari persamaan (3) kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇔ x – 2y = 8

⇔ x = 8 + 2y

Lalu kita subtitusikan persamaan x ke dalam persamaan (4) sebagai berikut.

⇔ 3(8 + 2y) + 2y = -8

⇔ 24 + 6y + 2y = -8

⇔ 24 + 8y = -8

⇔ 8y = -8 – 24

⇔ 8y = -32

⇔ y = -4

Terakhir, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai y ke persamaan (3) atau persamaan (4) sebagai berikut.

⇔ 3x + 2(-4) = -8

⇔ 3x + (-8) = -8

⇔ 3x = -8 + 8

⇔ 3x = 0

⇔ x = 0

Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah {(0, -4)}.

Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabel dalam suatu SPLDV adalah $x$ dan $y$ maka untuk menentukan nilai dari variabel $x$ kita harus mengeliminasi variabel $y$ terlebih dahulu. Begitupun sebaliknya.

CONTOH SOAL:

*Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di bawah ini menggunakan metode eliminasi.

6x + 4y = 12

x + y = 2

Jawab

Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.

6x + 4y	=	12	\|× 1\|	→	6x + 4y	=	12
x + y	=	2	\|× 4\|	→	4x + 4y	=	8	−
					2x	=	4	−
					x	=	2

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan kedua dengan 6 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.
6x + 4y
=
12
|× 1|
→
6x + 4y
=
12

x + y
=
2
|× 6|
→
6x + 6y
=
12
−

-2y
=
0

y
=
0

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 2 dan y = 0 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(2, 0)}.
*Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di bawah ini menggunakan metode eliminasi.
6x + 4y = 12
x + y = 2
Jawab
Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.
6x + 4y
=
12
|× 1|
→
6x + 4y
=
12

x + y
=
2
|× 4|
→
4x + 4y
=
8
−

2x
=
4

x
=
2

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan kedua dengan 6 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.
6x + 4y
=
12
|× 1|
→
6x + 4y
=
12

x + y
=
2
|× 6|
→
6x + 6y
=
12
−

-2y
=
0

y
=
0

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 2 dan y = 0 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(2, 0)}

Metode Gabungan

Metode gabungan adalah salah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan cara menggabungkan metode eliminasi dengan metode subtitusi.

CONTOH SOAL:

*selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini.

x + y = 7

x – y = 3

Dengan menggunakan metode gabungan, langkah-langkah penyelesaian SPLDV di atas adalah sebagai berikut.

Langkah 1 (eliminasi salah satu variabel)

Pertama, kita akan mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabel, misalnya x. Karena koefisien x pada kedua persamaan sudah sama maka kita bisa langsung mengurangkan kedua persamaan tersebut, yaitu sebagai berikut.

x+ y	=	7
x – y	=	3	−
2y	=	4	−
y	=	2

Langkah 2 (subtitusi nilai variabel yang telah diperoleh)

Selanjutnya, untuk memperoleh nilai x, kita dapat mensubtitusikan nilai y ke salah satu persamaan, misalnya persamaan x + y = 7, sehingga diperoleh:

x + y = 7

x + 2 = 7

x = 7 – 2

x = 5

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 5 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(5, 2)}.

*Dengan menggunakan metode gabungan, carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

2x + y = 8

x – y = 10

Jawab

Dari kedua persamaan di atas, kita bisa melihat bahwa koefisien yang sama dimiliki oleh peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y dapat kita eliminasi (hilangkan) dengan cara dijumlahkan, sehingga nilai x bisa kita tentukan dengan cara berikut ini.

2x + y	=	8
x – y	=	10	+
3x	=	18	+
x	=	6

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai y dengan cara mensubtitusikan nilai x ke salah satu persamaan, misalnya persamaan x – y = 10. Sehingga kita peroleh hasil sebagai berikut.

x – y = 10

6 – y = 10

y = 6 – 10

y = -4

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = -4 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {(6, -4)}

DAFTAR PUSTAKA:

https://edura.id/blog/matematika/sistem-persamaan-linear-dua-variabel/

https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/09/penyelesaian-SPLDV-metode-subtitusi.html

Cari Blog Ini

Bahagiaku bersekolah di SMAN 63 Jakarta

SPLDV

Pengertian dan Bentuk Umum Persamaan Linear Dua Variabel

Pengertian dan Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Metode Grafik

Metode substitusi adalah salah satu metode untuk menyelesaikan SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lain.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Soal kontekstual tentang perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, Termasuk sudut Elevasi dan sudut Depresi.

LATIHAN SOAL SPLTV&SPLK